LIMITES TRIGONOMETRICOS

25 enero del 2025

Aprendizajes Personal:

Hola hola , espero y estén muy bien , el día de hoy tuve mi tercera clase , o bueno mi primera clase en si de limites , ya que hoy fue la primera clase a la que asistí de este cuatrimestre , el día de hoy vi el tema de limites trigonométricos y si les soy honesta , aun no recordaba much de este tema , pero bueno , espero y este blog me sirva para comprenderlo un poco mejor ...

Los límites trigonométricos son una parte fundamental del cálculo y desempeñan un papel crucial en entender el comportamiento de las funciones trigonométricas a medida que se acercan a ciertos valores. Estos límites son esenciales en el análisis matemático y son utilizados en diversas ramas de la ciencia y la ingeniería. Para comprenderlos a fondo, es necesario explorar los conceptos clave asociados con las funciones trigonométricas y cómo se comportan en situaciones límite.

Límites trigonométricos

Se le denomina limites trigonométricos a los límites que contienen funciones trigonométricas como por ejemplo: Sen(x), Cos(x), Tag(x), entre otras.

Para la resolución de estos límites se recomienda evaluar primero, dado un resultado directo, pero en aquellos casos que presenten alguna indeterminación se recomienda aplicar las consideraciones según sea $\frac{\infty }{\infty }$ , $\frac{0}{0 }$ , 0.∞, ∞-∞, $1^{\infty }$ , de no desaparecer la indeterminación se recomienda la aplicación de las identidades trigonométricas.

A continuación se presenta algunas de las relaciones trigonométricas mas utilizadas en la resolución de límites trigonométricos:

$Tag(x)=\frac{sen(x)}{Cos(x)}$

$Sec(x)=\frac{1}{Cos(x)}$

$Csc(x)=\frac{1}{Sen(x)}$

$Sen^{2}(x)=1-Cos^{2}(x)$

$Sen(2x)=2.Sen(x)Cos(x)$

Ejercicios de límites trigonométricos.

Resolver los siguientes límites:

Ejercicio 1.-

$\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{Tg(x)-Sen(x)}{1-cos(x)})$

evaluamos

$=(\frac{Tg(0)-Sen(0)}{1-cos(0)})$

$=(\frac{0-0}{1-1})$

$=(\frac{0}{0})$

para eliminar la indeterminación aplicamos la identidad de la tangente;

$tag(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$

sustituimos y simplificamos;

$\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{\frac{sen(x)}{cos(x)}-Sen(x)}{1-cos(x)})$

$=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{\frac{sen(x)- sen(x).cos(x)}{cos(x)}}{1-cos(x)})$

$=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{\frac{sen(x)(1- cos(x)}{cos(x)}}{1-cos(x)})$

$=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{sen(x)(1- cos(x))}{cos(x)(1-cos(x))})$

$=\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{sen(x)}{cos(x)})$

evaluamos nuevamente;

$=(\frac{sen(0)}{cos(0)})$

$=(\frac{0}{1})$

$=0$

Ejercicio 2.-

$\displaystyle \lim_{x \to 0}(Cos(x))^{\frac{1}{sen^{2}(x)}}$

evaluamos;

$=(Cos(0))^{\frac{1}{sen^{2}(0)}}$

$=1^{\infty }$

eliminamos la indeterminación aplicando la expresión;

$\displaystyle \lim_{x \to a}(F(x))^{(G(x)}=e^{\displaystyle \lim_{x \to a}(G(x)(F(x)-1))}$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{1}{Sen^{2}(x)}(Cos(x)-1))}$

donde

$Sen^{2}(x)=1-Cos^{2}(x)$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{1}{1-Cos^{2}(x)}(Cos(x)-1))}$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{-(1-Cos(x))}{(1-Cos(x))(1+Cos(x))})}$

$=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}(\frac{-1}{1+Cos(x)})}$

evaluamos nuevamente;

$=e^{(\frac{-1}{1+Cos(0)})}$

$=e^{\frac{-1}{2}}$

Por lo tanto, para resolver los límites trigonométricos debemos utilizar la aritmética para transformar las funciones y conseguir expresiones similares a estas. De este modo, podremos emplear alguna de las dos fórmulas y hallar el valor del límite.

Por otro lado, a veces podemos necesitar aplicar alguna de las identidades trigonométricas.