integración por partes

 INTEGRACION POR PARTES

Holaaaaa , espero y estes muy bien , el día de hoy como es costumbre abrimos con un tema nuevo y la verdad es que no digo que sea super difícil , si no que para poder usar este método se tiene que usar la derivada y la integración, así que admito que batalle un poco por que al derivar me equivoco horrible :((, pero la verdad es que si me gusto este tema así que  empecemos.

La integración por partes es un método de integración que se emplea cuando una función es el producto de dos funciones cuya integración directa no es evidente. Esta técnica se deriva de la regla de la derivación de un producto, que establece que la derivada de u(x)v(x) es u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Al integrar ambos lados de esta igualdad, obtenemos la fórmula de integración por partes: ∫u dv = uv - ∫v du. Este procedimiento es análogo a la regla del producto en la diferenciación y se utiliza para descomponer un integrando complejo en términos más simples.

Para aplicar la integración por partes, se debe identificar las partes del integrando que se asignarán a u y dv. La elección de u debe ser tal que su derivada du sea más simple, y dv debe ser una función que se pueda integrar fácilmente para obtener v.

Una vez seleccionadas, se procede a diferenciar u y a integrar dv. Los resultados se sustituyen en la fórmula de integración por partes, lo que permite transformar la integral original en una más sencilla que, idealmente, es más fácil de resolver.

El Acrónimo ILATE para la Selección de Funciones

El acrónimo ILATE es una guía para elegir la función u en la integración por partes, ordenando las funciones por prioridad: Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algebraica, Trigonométrica y Exponencial. Se selecciona como u la función que aparece primero en esta jerarquía dentro del integrando. Por ejemplo, si el integrando incluye una función logarítmica y una exponencial, la función logarítmica se elige como u y la exponencial como parte de dv, facilitando así la integración.

Supongamos que tenemos las funciones  y . Entonces su derivada está dada por

Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos

Luego, si pasamos  al lado izquierdo, obtenemos

1Elegimos  y calculamos  y 

2Sustituimos los valores de  y  en la fórmula de integración por partes

Tenemos el producto $x\cdot \cos \left(x\right)$. 

Observad que no importa si $\cos \left(x\right)$ es $u$ ó $dv$, ya que obtenemos un seno tanto si derivamos como si integramos. Sin embargo, ya sabemos que es mejor considerar $u=x$ para reducir su grado.

Derivamos $u=x$ para calcular $du$:

Integramos $dv=\cos \left(x\right)dx$ para calcular $v$:

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

Solo queda calcular la integral de $\sin \left(x\right)$, que es $-\cos \left(x\right)$, y añadir la constante de integración $C\in R$:

Recuerden que aquí abajo les dejare los links por si ustedes quieren indagar un poco más , muchas gracias y suerteeeee :) .

https://www.matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htmhttps://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integracion-por-partes-i.html

https://cards.algoreducation.com/es/content/TmGSy1PT/integracion-por-partes