Calculo de Maximos y Minimos 

17 DE ABRIL DEL 2025

Holaaa, espero y estén muy bien , el dia de hoy vamos hablar de calculo de máximos y mínimos , la verdad es que estoy muy emocionada por que ya casi se acaba el parcial y este es el ultimo tema que vimos , así que espero y este blog les pueda ayudar a comprender un poco mejor el tema .

El problema fundamental asociado al uso de funciones para moldear problemas económicos consiste en calcular los valores de la variable independiente para los cuales la función tomen un valor que puede considerarse como máximo o mínimo de la función , se reduce este problema de optimización con el uso de la derivada de la función.

Los valores máximos de una función son los valores más altos de esta, mientras que los valores mínimos, como lo dice su nombre, se refiere a los valores más pequeños que dicha función puede tomar; ya sea en un intervalo determinado o de menos infinito a infinito.

Para la comprensión plena de este tema, seis conceptos son vitales:

• PUNTO MÁXIMO RELATIVO Y PUNTO MÍNIMO RELATIVO:

​Debido a que muchas funciones tienen valores que van desde menos infinito a infinito es más sencillo referirse a los valores como punto máximo relativo y punto mínimo relativo, en estos dos puntos la recta tangente a la curva es completamente horizontal, por lo que su pendiente es igual a 0, aplicando los conocimientos con los que contamos podemos saber que igual, la derivada de la función va a tener el valor de 0. Estos puntos también determinan los intervalos crecientes y decrecientes.
Pasos para encontrar los puntos mínimos y máximos:

1. Se obtiene la derivada de la función.
   
2. Se iguala la derivada a cero para luego resolver la ecuación y así encontrar los valores de x, dichos valores son llamados valores críticos.
   
3. Se saca la segunda derivada de la función y se evalúa la función con los valores críticos previamente obtenidos. Si el resultado es menor a cero entonces tenemos un punto máximo y si es mayor a ceroentonces es un punto mínimo.
   
4. Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de "y", así determinamos las coordenadas de dichos puntos.

• • INTERVALOS CRECIENTE Y DECRECIENTE:​

  Se dice que una función es creciente cuando entre mayor sea el valor de x, mayor será el valor de y. Puesto en palabras más simple va hacia delante y arriba. 
  En cambio, una función es decreciente cuando entre mayor sea el valor de x, menor será el valor de y. Se puede decir entre más avanza, más se sumerge.
  Determinar los intervalos crecientes y decrecientes de una función:

  1. Obtenemos la de derivada de la función.
  2. Se determinan los valores críticos.
  3. Se ubican dichos valores en una recta.
  4. Se buscan números entre los parámetros y se sustituyen en la derivada.

  *Si la derivada es mayor a cero, es creciente.
  *Si la derivada es menor a cero, es decreciente.

  

  • CONCAVIDAD:

  ​Característica de una curva en el entorno de un punto en el que la tangente no la atraviesa. Se dice que dicha curva, en el punto dado, presenta una concavidad hacia el lado donde no se encuentra la tangente. la concavidad puede ser determinada por medio de la segunda derivada.
  Una función es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función están por debajo de la curva.
  De forma inversa, una función es cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función están encima de la curva.
  En un punto de la función cambia la concavidad, este punto es conocido como punto de inflexión.
  
  • PUNTO DE INFLEXIÓN:

  El punto de inflexión es aquel en donde  la recta tangente atraviesa la gráfica de la función y ocurre un cambio de curvatura ya sea de cóncava a convexa o convexa a cóncava.
  Por lo tanto éste punto nos representa el cambio de concavidad en la función.
  Con este punto podemos determinar los intervalos de concavidad.

   

  
  

  Les comparto otro video para que nos quede un poco mas claro el tema :

  
  

  EJEMPLO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS .

  Consideremos a la siguiente función 

  Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:

  1Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces.

  Primero la derivada de la función

  

  Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación

  

  Entonces sus raíces son

  

  2Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces.

  Calculemos la segunda derivada de la función

  

  Evaluemos las raíces obtenidas en la segunda derivada

  ,  en  la función tiene un máximo relativo

  ,  en  la función tiene un mínimo relativo

  3Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

  , en  la gráfica de la función tiene un máximo relativo

  ,  en  la gráfica de la función tiene un mínimo relativo 

  Recuerden que aquí abajo les comparto los links para que puedan indagar un poco mas del tema , muchas gracias ..

  https://www.youtube.com/watch?v=2YCea06t_Qc

  https://www.youtube.com/watch?v=ppI4NKTScxw&t=46s

  https://calculus502.weebly.com/maacuteximos-y-miacutenimos

  https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-diff-analytical